■ まなぶ - 共通テスト試行調査 - 数学IA - 2018年第3問 - 確率

■ 知り合いではないあなたと私とあの人の3人が運転する3台のクルマが、相前後して主要道であるE4東北道を、仙台方面から青森をめざして北に向かっています。北上ジャンクション分岐点手前の電光掲示板表示(たとえば画像左下みたいな)に、「行きたいルートE4側に『事故渋滞-盛岡南IC付近10km』の表示がある、分岐して支線ルートE46秋田道を通ってもいずれ合流するが、かなり遠回りだし片側一車線区間や対面区間も多い...」という場合、どうしますか? この表示を見て、あなたとあの人は「渋滞はそう大したこともないだろう」と考えて、そのままE4を盛岡方面に進みます。臆病者の私は、「渋滞ってどのくらい待つかな、最後尾にいて追突された経験もあるし、秋田道を行こう」と考えたりします。主要道を支線側に迂回する人は3人に1人だそうですよ(下の太郎さんの考察(iii))...と言っても、道路固有の状況でこの確率はまるっきり変わるか...。

■ 大学入試共通テスト試行調査問題にこの心理を衝いた出題がありました。考えて楽しんでみます(なお、[  ]のカタカナ1文字に、解答となるアラビア数字1字が入ります)。

※ 出題者に敬意を表します。

高速道路には, 渋滞状況が表示されていることがある。目的地に行く経路が複数ある場合は, 渋滞中を示す表示を見て経路を決める運転手も少なくない。太郎さんと花子さんは, 渋滞中の表示と車の流れについて, 仮定をおいて考えてみることにした。

A地点(入口)からB地点(出口)に向かって北上する高速道路には, 図1のように分岐点A, C, Eと合流点B, Dがある。①, ②, ③は主要道路であり, ④, ⑤, ⑥, ⑦は迂回道路である。ただし, 矢印は車の進行方向を表し, 図1の経路以外にA地点からB地点に向かう経路はないとする。また各分岐点A, C, Eには, それぞれ①と④, ②と⑦, ⑤と⑥の渋滞状況が表示される。

太郎さんと花子さんは, まず渋滞中の表示がないときに, A, C, Eの各分岐点において運転手がどのような選択をしているか調査した。その結果が上の表1である。 

これに対して太郎さんは, 運転手の選択について, 次のような仮定をおいて確率を使って考えることにした。 

<太郎さんの仮定>

(i) 表1の選択の割合を確率とみなす。

(ii) 分岐点において, 二つの道路のいずれにも渋滞中の表示がない場合, またはいずれにも渋滞中の表示がある場合, 運転手が道路を選択する確率は, (i)でみなした確率とする。

(iii) 分岐点において, 片方の道路にのみ渋滞中の表示がある場合, 運転手が渋滞中の表示のある適路を選択する確率は, (i)でみなした確率の 2/3  倍とする。

ここで, (i)の選択の割合を確率とみなすとは, 例えばA地点の分岐において④の道路を選択した割合

91/1183=1/13

を, ④の道路を選択する確率とみなすということである。

太郎さんの仮定のもとで, 次の確率を求めよ。

(1) すべての道路に渋滞中の表示がない場合,

A地点の分岐において運転手が①の道路を選択する…[アイ/ウエ]

(2) すべての道路に渋滞中の表示がない場合,

A地点からB地点に向かう車がD地点を通過する…[ / ]

(3) すべての道路に渋滞中の表示がない場合,

A地点からB地点に向かう車でD地点を通過した車が, E地点を通過していた…[ / ]

(4) ①の道路にのみ渋滞中の表示がある場合,

A地点からB地点に向かう車がD地点を通過する…[ / ]

各道路を通過する車の台数が1000台を超えると車の流れが急激に悪くなる。

一方で各道路の通過台数が1000台を超えない限り, 主要道路である①, ②, ③をより多くの車が通過することが社会の効率化に繋がる。

したがって, 各道路の通過台数が1000台を超えない範囲で, ①, ②, ③をそれぞれ通過する台数の合計が最大になるようにしたい。

このことを踏まえて, 花子さんは, 太郎さんの仮定を参考にしながら次のような仮定をおいて考えることにした。

<花子さんの仮定>

(i) 分岐点において，二つの道路のいずれにも渋滞中の表示がない場合, またはいずれにも渋滞中の表示がある場合, それぞれの道路に進む車の割合は表lの割合とする。

(ii) 分岐点において, 片方の道路にのみ渋滞中の表示がある場合, 渋滞中の表示のある道路に進む車の台数の場合は表1の割合の2/3倍とする。

過去のデータから5月13日にA地点からB地点に向かう車は1560台と想定している。そこで, 花子さんの仮定のもとでこの台数を想定してシミュレーションを行った。このとき，次の確率を求めよ。

(5) すべての道路に渋滞中の表示がない場合, ①を通過する台数は, [  タチツテ  ]台となる。よって, ①の通過台数を1000台以下にするには, ①に渋滞中の表示を出す必要がある。

①に渋滞中の表示を出した場合, ①の通過台数は, [  トナニ  ]台 となる。

(6) 各道路の通過台数が1000台を超えない範囲で, ①, ②, ③をそれぞれ通過する台数の合計を最大にするには, 渋滞中の表示を [  ヌ  ] のようにすればよい｡当てはまるものを以下の図から一つ選べ。

■ この出題から、私のような末端の国民が推理できることは、2点。① 太郎くんと花子さんは、日本道路交通情報センターにお勤めか。② 高速道路上の「渋滞」表示は、実は渋滞していなくても、表示されている可能性がある。

■ ① きっと道路交通情報センター(?)ではコンピュータに住んでいる小人さんが1秒で計算しているのでしょう...。これに対して、受験生に与えられた数学IAにおけるこの問題の持ち時間は7分程度ではないでしょうか。私が手作業で計算したらその3倍の時間がかかってしまいました...。花子さんのせいです。問題は他のIAの分野より難問ではないかもしれないけど、時間があんまりキツいです。

■ ② 「渋滞」表示は、「実際には渋滞していないが、それを知りつつ道路交通情報センター(?)では『渋滞している』と表示していた」とすれば、客観的には嘘の表示...というと人聞きが悪いですが、当局による国民に対する情報操作だったというワケですね...。あなたもあの人も私も、羊飼いに追い立てられる羊だったということがよくわかります。ただまぁ、全員の利益が最終的には一致している限りは、全体として社会正義が達成されたと評価できて、経済学上の善です。あなたとあの人は「なぁ～んだ、やっぱり渋滞終わってるじゃないか」といいつつ盛岡南IC付近を快速に通過していくと...。いちばん割を食ったのは、事実と異なる表示を信じて、誤謬を判断前提として行動し、無駄に大きく遠回りした私...。

■ なおす - 予防接種5回目

■ コロナワクチン接種の5回目です。

■ 前々回の3回目に限っては、経験のない強い倦怠感があってその日すぐその後に仕事があって大いに難儀しました。その晩は、経験のないほど十分ぐっすり眠った感があって、翌日起床すると経験のないほど爽快な目覚めでした。今日はどうなることでしょうか。

■ なおす - 草むしり

■ なんということもない、家周辺の草むしりをしました。きれいな写真でもなんでもないので、小さい画像で。

■ 大邸宅でも農家でもないので、笑ってしまう程度の小さな敷地内ですから、手でむしるだけです。画像は、それまで両側が緑豊かな田舎道だったのを、強引にコンクリとアスファルトと廃屋同然の建物だけから成る、田舎町のうらぶれた灰色一色の小路の光景にしたところです。画像左の2棟分の四辺、画像奥になんとな~く見えている緑壁の建物の手前まで。と、幅員3.5m道路を挟んだ向い、画像右の小さな縫製工場の1辺を。この工場は敷地内に空き地が広くて、冬は、すぐ近くの小学校の通学路になっているこの狭い道路を早朝に除雪し、右の敷地内に、その雪を、工場の社長さんの許諾を得て、毎日のように一時的に山積み状態で置かせてもらっています。春になって暖かくなったらお日様にも手伝ってもらって雪をきれいにしてお返ししています...(;--A...で、ですので、無雪期はその敷地と道路境界の草むしりをさせていただいております。

■ それでも、手でむしって1時間かかります。たいした画像でもない上の左端のゴミ袋1ツ分です。今年は5月~9月の間、ほぼ毎月やっているからその程度で済んでいます。で、除草剤を希釈して2ℓにし、2回、計4ℓ噴霧して30分。長袖とシリコン手袋必須です(...単なる備忘録です)。

■ 蛇足です。左の朽ちた建物は私の倉庫兼住居です。この汚れはてた建物壁土台と道路の細い境目に雑草が生い茂るのですが、その草の中に、ラズベリー(=フランボワーズ=木苺)があります。棘があるツルが壁をよじ登ろうとし、赤い実をけっこうたくさんつけ、人目につきます。汚れはてた画像左側の壁は、実はかえって放置すれば、ラズベリーのフレッシュ・グリーンの光景にすることが可能です...。それを今日また徹底的に引っこ抜いたわけで...。

■ 実はコレは、私が原因を作ってしまいました。1990年代から、この地でチャリ(ロードバイク)を楽しんでいて、以前は、ここから直接、周辺の野山までチャリで自走して、愉快に堪能しておりました。そのさいちゅうに、野山にて、運動中のことですのでのどが渇きます。水ボトルは当然持参。湧き水ポイントもあります。この界隈の田んぼのあぜ道やりんご畑周辺にラズベリーはいくらでも自生しています。農作業の軽トラに踏まれて赤くぐちゃぐちゃになったラズベリーはどこにでも見られます。元気に生えている果実を手で摘み、ボトルの水で洗って土ぼこりを流し、いきなり食べます。初夏から秋までを通じていくらでも生えているのですが、ラズベリーは種が硬いので、そうたくさんは食えず、チャリのジャージのポケットに入れておきます。また峠道や山頂で食べるつもりです。

■ 食べないまま自宅に戻ったりします。その際にポケットのラズベリーを、たいていは紙に包んでゴミ箱に捨てるのですが、自宅周辺に落としたことも何度もあり何年にもわたります。その果実の種子をどうやら風や虫がこの古い倉庫の軒下まで運んでくれて、軒下に多年生の株が、もしかしたら大群落となって残っているようです。春になると日光を求めてツルをのばし、葉を広げ、実をつけます。先月引っこ抜いたばかりなのに今日はすでにまた...。猛烈な生命力です。通学路なので、よく小学生たちが赤い実を発見して盛り上がっていることがあります...。なるべくマメに毎月草むしりをする理由の一つだったりします。